Dokonalý den – 28. 6. 2020
Dokonalé číslo je přirozené číslo, které je součtem svých vlastních dělitelů (tj. bez sebe sama).
Z doby antiky známe první čtyři. Jsou to 6, 28, 496, 8128.
Právě první dvě dokonalá čísla jsou schována v datu tohoto červnového dne.
Podívejme se na to podrobněji.
6 = 1 . 2 . 3
6 = 1 + 2 + 3
28 = 1 . 2 . 2 . 7
Vlastní dělitelé čísla 28 jsou 1, 2, 4, 7, 14 (Číslo 28 také je také dělitel 28, s ním ale počítat nebudeme.)
Když sečteme 1 + 2 + 4 + 7 + 14, dostaneme opět 28.
První zmínky o dokonalých číslech najdeme už ve 4.-3. století př.n.l. v Eukleidových Základech.
V knize IX Eukleidés ukazuje, že pokud najdeme takové přirozené číslo p, pro které je 2^p-1 prvočíslo, potom p je prvočíslo a číslo 2^(p-1).(2^p-1) je vždy dokonalé.
Například pro p=3 je také 7=2^3-1 prvočíslo, takže dostaneme dokonalé číslo 4 . 7 = 28.
Tímto postupem Eukleidés mohl najít některá dokonalá čísla, ale nevěděl, zda tak najde opravdu všechna. Domněnku, že každé sudé dokonalé číslo má eukleidovský tvar vyjádřil
René Descartes v dopise Marinu Mersennovi roku 1638. Až o dva tisíce let po Eukleidovi dokázal Leonhard Euler, že všechna sudá dokonalá čísla skutečně tento tvar mají.
Zůstává ale tajemstvím, zda také existují nějaká lichá dokonalá čísla. Nikdo totiž zatím žádné neobjevil. Hypotéza o existenci lichého dokonalého čísla byla zatím testována s podporou výpočetní techniky do 10^300 bez úspěchu .
Mezi pozoruhodné vlastnosti sudých dokonalých čísel patří například, že je lze vždy uspořádat do trojúhelníku.
Zde máme např. šestku:
*
* *
* * *
Sudá dokonalá čísla ve dvojkové soustavě mají velmi zajímavý tvar, k jehož prozkoumání vás vybízíme. První, kdo na to upozornil, byl profesor matematiky na pražské univerzitě František Josef Studnička (1836-1903), který první přednášel matematiku česky:
• 6
tj. 110
• 28
tj. 11100
...
S dalšími vlastnostmi dokonalých čísel se můžete seznámit v knize Kouzlo čísel, nakl. Academia (III. vyd. - 2018) nebo na wikipedii či internetu.
Podívejme se nyní do světa: Matematici slaví Světový den matematiky, nazývaný též Pi Day.
Jeho datum je zvoleno podle prvních tří číslic Ludolfova čísla pí - 3,14, tedy 14. března.
Zároveň můžeme v tento památný den oslavit narozeniny významného fyzika Alberta Einsteina.
V anglosaských zemích se tento den slaví pečením koláčků, neboť "pie" se anglicky čte "páj" stejně jako pí a znamená koláč.
A jak spolu Pi Day a Dokonalý den souvisejí? Číslo pí je velikost přímého úhlu v radiánech, tj. velikost středového úhlu v půlkruhu.
Doplňme půlkruh druhým půlkruhem na kruh, v antickém Řecku považovaný za dokonalý tvar.
Dvojnásobek čísla pí má geometrický význam plného úhlu a jeho hodnota je - překvapení! - dokonalé datum 6,28.
(Dodejme jen, že k této krásné náhodě jsme pomohli tím, že jsme 2pí zaokrouhlili stejně jako Pi Day,
je to totiž iracionální číslo s neukončeným desetinným rozvojem.)
Někteří školáci a studenti jistě najdou dokonalost dne i v tom, že škola končí a nadchází sladký čas prázdnin.
Užijme si letošní dokonalý den i nadcházející čas dokonale a v dalších letech snad tento svátek oslavíme třeba i společně.
Alena Šolcová, Jakub Šolc